如何通俗易懂地解释「协方差」与「相关系数」的概念？
最喜欢通俗易懂地解释一个事情。 一、协方差： 可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？ 你变大，同时我也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。 你变大，同时我变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。 从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大。反之亦然。 咱们从公式出发来理解一下： 公式简单翻译一下是：如果有 X,Y 两个变量，每个时刻的“X 值与其均值之差”乘以“Y 值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值（其实是求“期望”，但就不引申太多新概念了，简单认为就是求均值了）。 下面举个例子来说明吧： 比如有两个变量 X,Y，观察 t1-t7（7 个时刻）他们的变化情况。 简单做了个图：分别用红点和绿点表示 X、Y，横轴是时间。可以看到 X，Y 均围绕各自的均值运动，并且很明显是同向变化的。 这时，我们发现每一时刻 的值与 的值的“正负号”一定相同（如下图：比如 t1 时刻，他们同为正，t2 时刻他们同为负）： 所以，像上图那样，当他们同向变化时， 与 的乘积为正。这样，当你把 t1-t7 时刻 与 的乘积加在一起，求平均后也就是正数了。 如果反向运动呢？ 很明显， 的值与 的值的“正负号”一定相反，于是 与 的乘积就是负值了。这样当你把 t1-t7 时刻 与 的乘积加在一起，求平均的时候也就是负数了。 当然上面说的是两种特殊情况，很多时候 X，Y 的运动是不规律的，比如： 这时，很可能某一时刻 的值与 的值乘积为正，另外一个时刻 的值与 的值乘积为负。 将每一时刻 与 的乘积加在一起，其中的正负项就会抵消掉，最后求平均得出的值就是协方差，通过协方差的数值大小，就可以判断这两个变量同向或反向的程度了。 所以，t1-t7 时刻中， 与 的乘积为正的越多，说明同向变化的次数越多，也即同向程度越高。反之亦然。 总结一下，如果协方差为正，说明 X，Y 同向变化，协方差越大说明同向程度越高；如果协方差为负，说明 X，Y 反向运动，协方差越小说明反向程度越高。 －－－－－－－－LINE－－－－－－－－－ 一般的同学看到 above the line 的内容就 ok 了。但有一些爱钻研的同学，可能会进一步提问： 那如果 X，Y 同向变化，但 X 大于均值，Y 小于均值，那 与 的乘积为负值啊？这不是矛盾了吗？ 那就继续往下看…… 这种情况是有可能出现的，比如： 可以看到，t1 时刻， 与 的符号相反，他们的乘积为负值。 但是，总体看，这两个变量的协方差仍然是正的，因为你还要计算 t2，t3……t7 时刻 与 的乘积，然后再把这 7 个时刻的乘积求和做均值，才是最后 X，Y 的协方差。1 个负、6 个正，显然最后协方差很大可能性是正的。 所以 t1 时刻 与 的乘积为负值，并不能说明他们反向运动，要结合整体的情况来判断。 那么你可能又要问了，既然都是同向变化，那 t1 时刻 与 的乘积为负值、其他时刻乘积为正的这种情况，与，t1-t7 时刻 与 的乘积均为正值的情况，到底有什么差异呢？这点其实前面也解释过了，差异就是：第一种情况的同向程度不如第二种情况的同向程度大（第一种情况 6 正 1 负，第二种情况 7 正，所以第一种情况的协方差小于第二种情况的协方差，第一种情况 X，Y 变化的同向程度要小于第二种情况）。 另外，如果你还钻牛角尖，说如果 t1，t2，t3……t7 时刻 X，Y 都在增大，而且 X 都比均值大，Y 都比均值小，这种情况协方差不就是负的了？7 个负值求平均肯定是负值啊？但是 X，Y 都是增大的，都是同向变化的，这不就矛盾了？ 这个更好解释了：这种情况不可能出现！ 因为，你的均值算错了…… X，Y 的值应该均匀的分布在均值两侧才对，不可能都比均值大，或都比均值小。 所以，实际它的图应该是下面这样的： 发现没有，又变成 与 的符号相同的情况了～有没有种被大自然打败的感觉～ 好了，现在，对于协方差应该有点感觉了吧？ 二、相关系数： 对于相关系数，我们从它的公式入手。一般情况下，相关系数的公式为： 翻译一下：就是用 X、Y 的协方差除以 X 的标准差和 Y 的标准差。 所以，相关系数也可以看成协方差：一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差。 既然是一种特殊的协方差，那它： 1、也可以反映两个变量变化时是同向还是反向，如果同向变化就为正，反向变化就为负。 2、由于它是标准化后的协方差，因此更重要的特性来了：它消除了两个变量变化幅度的影响，而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。 比较抽象，下面还是举个例子来说明： 首先，还是承接上文中的变量 X、Y 变化的示意图（X 为红点，Y 为绿点），来看两种情况： 很容易就可以看出以上两种情况 X，Y 都是同向变化的，而这个“同向变化”，有个非常显著特征：X、Y 同向变化的过程，具有极高的相似度！无论第一还是第二种情况下，都是：t1 时刻 X、Y 都大于均值，t2 时刻 X、Y 都变小且小于均值，t3 时刻 X、Y 继续变小且小于均值，t4 时刻 X、Y 变大但仍小于均值，t5 时刻 X、Y 变大且大于均值…… 可是，计算一下他们的协方差， 第一种情况下： 第二种情况下： 协方差差出了一万倍，只能从两个协方差都是正数判断出两种情况下 X、Y 都是同向变化，但是，一点也看不出两种情况下 X、Y 的变化都具有相似性这一特点。 这是为什么呢？ 因为以上两种情况下，在 X、Y 两个变量同向变化时，X 变化的幅度不同，这样，两种情况的协方差更多的被变量的变化幅度所影响了。 所以，为了能准确的研究两个变量在变化过程中的相似程度，我们就要把变化幅度对协方差的影响，从协方差中剔除掉。于是，相关系数就横空出世了，就有了最开始相关系数的公式： 那么为什么要通过除以标准差的方式来剔除变化幅度的影响呢？咱们简单从标准差公式看一下： 从公式可以看出，标准差计算方法为，每一时刻变量值与变量均值之差再平方，求得一个数值，再将每一时刻这个数值相加后求平均，再开方。 “变量值与变量均值之差” 是什么呢？就是偏离均值的幅度： 那为何要对它做平方呢？因为有时候变量值与均值是反向偏离的（见下图）， 是个负数，平方后，就可以把负号消除了。这样在后面求平均时，每一项数值才不会被正负抵消掉，最后求出的平均值才能更好的体现出每次变化偏离均值的情况。 当然，最后求出平均值后并没有结束，因为刚才为了消除负号，把 进行了平方，那最后肯定要把求出的均值开方，将这个偏离均值的幅度还原回原来的量级。于是就有了下面标准差的公式： 所以标准差描述了变量在整体变化过程中偏离均值的幅度。协方差除以标准差，也就是把协方差中变量变化幅度对协方差的影响剔除掉，这样协方差也就标准化了，它反应的就是两个变量每单位变化时的情况。这也就是相关系数的公式含义了。 同时，你可以反过来想象一下：既然相关系数是协方差除以标准差，那么，当 X 或 Y 的波动幅度变大的时候，它们的协方差会变大，标准差也会变大，这样相关系数的分子分母都变大，其实变大的趋势会被抵消掉，变小时也亦然。于是，很明显的，相关系数不像协方差一样可以在＋ 到－ 间变化，它只能在＋1 到－1 之间变化（相关系数的取值范围在＋1 到－1 之间变化可以通过施瓦茨不等式来证明，有些复杂，这里就不赘述了，有兴趣的可以 google 下）。 总结一下，对于两个变量 X、Y， 当他们的相关系数为 1 时，说明两个变量变化时的正向相似度最大，即，你变大一倍，我也变大一倍；你变小一倍，我也变小一倍。也即是完全正相关（以 X、Y 为横纵坐标轴，可以画出一条斜率为正数的直线，所以 X、Y 是线性关系的）。 随着他们相关系数减小，两个变量变化时的相似度也变小，当相关系数为 0 时，两个变量的变化过程没有任何相似度，也即两个变量无关。 当相关系数继续变小，小于 0 时，两个变量开始出现反向的相似度，随着相关系数继续变小，反向相似度会逐渐变大。 当相关系数为－1 时，说明两个变量变化的反向相似度最大，即，你变大一倍，我变小一倍；你变小一倍，我变大一倍。也即是完全负相关（以 X、Y 为横纵坐标轴，可以画出一条斜率为负数的直线，所以 X、Y 也是线性关系的）。 有了上面的背景，我们再回到最初的变量 X、Y 的例子中，可以先看一下第一种情况的相关系数： X 的标准差为 Y 的标准差为 于是相关系数为 说明第一种情况下，X 的变化与 Y 的变化具有很高的相似度，而且已经接近完全正相关了，X、Y 几乎就是线性变化的。 那第二种情况呢？ X 的标准差为 Y 的标准差为 于是相关系数为 说明第二种情况下，虽然 X 的变化幅度比第一种情况 X 的变化幅度小了 10000 倍，但是丝毫没有改变“X 的变化与 Y 的变化具有很高的相似度”这一结论。同时，由于第一种、第二种情况的相关系数是相等的，因此在这两种情况下，X、Y 的变化过程有着同样的相似度。 好了，讲了这么多，不知你看完是否对相关系数也有了一些感觉？ 三、写在最后 本文主要还是想给非理工专业、入门级的各位朋友看的，自己也曾在茫茫公式海中痛苦过，但后来发现对一个公式的原理有了一个感觉后，它也就变得好记很多了，而且也愿意深入研究它了。这篇文章也就是培养你对于协方差、相关系数的这种感觉。但是，为了通俗易懂，有些地方也不够全面、严谨。也许你看完本文，经过自己的学习研究，也会有自己的一些想法，那你可以继续研究一下本题目下其他答主的答案，通过引入向量、内积等定义，会把协方差、相关系数说明得更加严谨和透彻。总之学习是一个循序渐进的过程，不要觉得彻底明白了什么，那往往是你踏入一个领域的第一步。 （完） 其他一些推荐的通俗易懂类答案，感兴趣的朋友可以阅读： 作为一个非金融从业者怎样才能看懂电影《大空头》？ - GRAYLAMB 的回答 - 知乎 关于外汇标价方法的定义，直接标价法到底是什么？ - GRAYLAMB 的回答 - 知乎 如何浅显易懂地解说 Paxos 的算法？ 未来计划继续通俗易懂解读 ApplePay、区块链、机器学习，欢迎关注。 ——2017.2.25 关于比特币与区块链的文章写好了，有兴趣的可以来瞅瞅～ GRAYLAMB：比特币 (Bitcoin) 系统是如何运行的？ ——2017.8.4 查看知乎讨论
最喜欢通俗易懂地解释一个事情。
一、协方差：
可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？
你变大，同时我也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。
你变大，同时我变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。
从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大。反之亦然。
咱们从公式出发来理解一下：
公式简单翻译一下是：如果有 X,Y 两个变量，每个时刻的“X 值与其均值之差”乘以“Y 值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值（其实是求“期望”，但就不引申太多新概念了，简单认为就是求均值了）。
下面举个例子来说明吧：
比如有两个变量 X,Y，观察 t1-t7（7 个时刻）他们的变化情况。
简单做了个图：分别用红点和绿点表示 X、Y，横轴是时间。可以看到 X，Y 均围绕各自的均值运动，并且很明显是同向变化的。
这时，我们发现每一时刻
的值与
的值的“正负号”一定相同（如下图：比如 t1 时刻，他们同为正，t2 时刻他们同为负）：
所以，像上图那样，当他们同向变化时，
与
的乘积为正。这样，当你把 t1-t7 时刻
与
的乘积加在一起，求平均后也就是正数了。
如果反向运动呢？
很明显，
的值与
的值的“正负号”一定相反，于是
与
的乘积就是负值了。这样当你把 t1-t7 时刻
与
的乘积加在一起，求平均的时候也就是负数了。
当然上面说的是两种特殊情况，很多时候 X，Y 的运动是不规律的，比如：
这时，很可能某一时刻
的值与
的值乘积为正，另外一个时刻
的值与
的值乘积为负。
将每一时刻
与
的乘积加在一起，其中的正负项就会抵消掉，最后求平均得出的值就是协方差，通过协方差的数值大小，就可以判断这两个变量同向或反向的程度了。
所以，t1-t7 时刻中，
与
的乘积为正的越多，说明同向变化的次数越多，也即同向程度越高。反之亦然。
总结一下，如果协方差为正，说明 X，Y 同向变化，协方差越大说明同向程度越高；如果协方差为负，说明 X，Y 反向运动，协方差越小说明反向程度越高。
－－－－－－－－LINE－－－－－－－－－
一般的同学看到 above the line 的内容就 ok 了。但有一些爱钻研的同学，可能会进一步提问：
那如果 X，Y 同向变化，但 X 大于均值，Y 小于均值，那
与
的乘积为负值啊？这不是矛盾了吗？
那就继续往下看……
这种情况是有可能出现的，比如：
可以看到，t1 时刻，
与
的符号相反，他们的乘积为负值。
但是，总体看，这两个变量的协方差仍然是正的，因为你还要计算 t2，t3……t7 时刻
与
的乘积，然后再把这 7 个时刻的乘积求和做均值，才是最后 X，Y 的协方差。1 个负、6 个正，显然最后协方差很大可能性是正的。
所以 t1 时刻
与
的乘积为负值，并不能说明他们反向运动，要结合整体的情况来判断。
那么你可能又要问了，既然都是同向变化，那 t1 时刻
与
的乘积为负值、其他时刻乘积为正的这种情况，与，t1-t7 时刻
与
的乘积均为正值的情况，到底有什么差异呢？这点其实前面也解释过了，差异就是：第一种情况的同向程度不如第二种情况的同向程度大（第一种情况 6 正 1 负，第二种情况 7 正，所以第一种情况的协方差小于第二种情况的协方差，第一种情况 X，Y 变化的同向程度要小于第二种情况）。
另外，如果你还钻牛角尖，说如果 t1，t2，t3……t7 时刻 X，Y 都在增大，而且 X 都比均值大，Y 都比均值小，这种情况协方差不就是负的了？7 个负值求平均肯定是负值啊？但是 X，Y 都是增大的，都是同向变化的，这不就矛盾了？
这个更好解释了：这种情况不可能出现！
因为，你的均值算错了……
X，Y 的值应该均匀的分布在均值两侧才对，不可能都比均值大，或都比均值小。
所以，实际它的图应该是下面这样的：
发现没有，又变成
与
的符号相同的情况了～有没有种被大自然打败的感觉～
好了，现在，对于协方差应该有点感觉了吧？
二、相关系数：
对于相关系数，我们从它的公式入手。一般情况下，相关系数的公式为：
翻译一下：就是用 X、Y 的协方差除以 X 的标准差和 Y 的标准差。
所以，相关系数也可以看成协方差：一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差。
既然是一种特殊的协方差，那它：
1、也可以反映两个变量变化时是同向还是反向，如果同向变化就为正，反向变化就为负。
2、由于它是标准化后的协方差，因此更重要的特性来了：它消除了两个变量变化幅度的影响，而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。
比较抽象，下面还是举个例子来说明：
首先，还是承接上文中的变量 X、Y 变化的示意图（X 为红点，Y 为绿点），来看两种情况：
很容易就可以看出以上两种情况 X，Y 都是同向变化的，而这个“同向变化”，有个非常显著特征：X、Y 同向变化的过程，具有极高的相似度！无论第一还是第二种情况下，都是：t1 时刻 X、Y 都大于均值，t2 时刻 X、Y 都变小且小于均值，t3 时刻 X、Y 继续变小且小于均值，t4 时刻 X、Y 变大但仍小于均值，t5 时刻 X、Y 变大且大于均值……
可是，计算一下他们的协方差，
第一种情况下：
第二种情况下：
协方差差出了一万倍，只能从两个协方差都是正数判断出两种情况下 X、Y 都是同向变化，但是，一点也看不出两种情况下 X、Y 的变化都具有相似性这一特点。
这是为什么呢？
因为以上两种情况下，在 X、Y 两个变量同向变化时，X 变化的幅度不同，这样，两种情况的协方差更多的被变量的变化幅度所影响了。
所以，为了能准确的研究两个变量在变化过程中的相似程度，我们就要把变化幅度对协方差的影响，从协方差中剔除掉。于是，相关系数就横空出世了，就有了最开始相关系数的公式：
那么为什么要通过除以标准差的方式来剔除变化幅度的影响呢？咱们简单从标准差公式看一下：
从公式可以看出，标准差计算方法为，每一时刻变量值与变量均值之差再平方，求得一个数值，再将每一时刻这个数值相加后求平均，再开方。
“变量值与变量均值之差”
是什么呢？就是偏离均值的幅度：
那为何要对它做平方呢？因为有时候变量值与均值是反向偏离的（见下图），
是个负数，平方后，就可以把负号消除了。这样在后面求平均时，每一项数值才不会被正负抵消掉，最后求出的平均值才能更好的体现出每次变化偏离均值的情况。
当然，最后求出平均值后并没有结束，因为刚才为了消除负号，把
进行了平方，那最后肯定要把求出的均值开方，将这个偏离均值的幅度还原回原来的量级。于是就有了下面标准差的公式：
所以标准差描述了变量在整体变化过程中偏离均值的幅度。协方差除以标准差，也就是把协方差中变量变化幅度对协方差的影响剔除掉，这样协方差也就标准化了，它反应的就是两个变量每单位变化时的情况。这也就是相关系数的公式含义了。
同时，你可以反过来想象一下：既然相关系数是协方差除以标准差，那么，当 X 或 Y 的波动幅度变大的时候，它们的协方差会变大，标准差也会变大，这样相关系数的分子分母都变大，其实变大的趋势会被抵消掉，变小时也亦然。于是，很明显的，相关系数不像协方差一样可以在＋
到－
间变化，它只能在＋1 到－1 之间变化（相关系数的取值范围在＋1 到－1 之间变化可以通过施瓦茨不等式来证明，有些复杂，这里就不赘述了，有兴趣的可以 google 下）。
总结一下，对于两个变量 X、Y，
当他们的相关系数为 1 时，说明两个变量变化时的正向相似度最大，即，你变大一倍，我也变大一倍；你变小一倍，我也变小一倍。也即是完全正相关（以 X、Y 为横纵坐标轴，可以画出一条斜率为正数的直线，所以 X、Y 是线性关系的）。
随着他们相关系数减小，两个变量变化时的相似度也变小，当相关系数为 0 时，两个变量的变化过程没有任何相似度，也即两个变量无关。
当相关系数继续变小，小于 0 时，两个变量开始出现反向的相似度，随着相关系数继续变小，反向相似度会逐渐变大。
当相关系数为－1 时，说明两个变量变化的反向相似度最大，即，你变大一倍，我变小一倍；你变小一倍，我变大一倍。也即是完全负相关（以 X、Y 为横纵坐标轴，可以画出一条斜率为负数的直线，所以 X、Y 也是线性关系的）。
有了上面的背景，我们再回到最初的变量 X、Y 的例子中，可以先看一下第一种情况的相关系数：
X 的标准差为
Y 的标准差为
于是相关系数为
说明第一种情况下，X 的变化与 Y 的变化具有很高的相似度，而且已经接近完全正相关了，X、Y 几乎就是线性变化的。
那第二种情况呢？
X 的标准差为
Y 的标准差为
于是相关系数为
说明第二种情况下，虽然 X 的变化幅度比第一种情况 X 的变化幅度小了 10000 倍，但是丝毫没有改变“X 的变化与 Y 的变化具有很高的相似度”这一结论。同时，由于第一种、第二种情况的相关系数是相等的，因此在这两种情况下，X、Y 的变化过程有着同样的相似度。
好了，讲了这么多，不知你看完是否对相关系数也有了一些感觉？
三、写在最后
本文主要还是想给非理工专业、入门级的各位朋友看的，自己也曾在茫茫公式海中痛苦过，但后来发现对一个公式的原理有了一个感觉后，它也就变得好记很多了，而且也愿意深入研究它了。这篇文章也就是培养你对于协方差、相关系数的这种感觉。但是，为了通俗易懂，有些地方也不够全面、严谨。也许你看完本文，经过自己的学习研究，也会有自己的一些想法，那你可以继续研究一下本题目下其他答主的答案，通过引入向量、内积等定义，会把协方差、相关系数说明得更加严谨和透彻。总之学习是一个循序渐进的过程，不要觉得彻底明白了什么，那往往是你踏入一个领域的第一步。
（完）
其他一些推荐的通俗易懂类答案，感兴趣的朋友可以阅读：
作为一个非金融从业者怎样才能看懂电影《大空头》？ - GRAYLAMB 的回答 - 知乎
关于外汇标价方法的定义，直接标价法到底是什么？ - GRAYLAMB 的回答 - 知乎
未来计划继续通俗易懂解读 ApplePay、区块链、机器学习，欢迎关注。
——2017.2.25
关于比特币与区块链的文章写好了，有兴趣的可以来瞅瞅～
GRAYLAMB：比特币 (Bitcoin) 系统是如何运行的？
——2017.8.4
