为什么不能用 0 做除数？
谢邀, 关于这个问题, 回顾数系是怎么构建起来的, 就显而易见了. 原本打算留到写专栏文章时来解释, 迟迟未动手, 就借着这个答案来说说. 0. 概述 要了解"0 为什么不能做除数?"这个问题. 我们有必要回顾一下数字(从自然数, 整数, 有理数, 到实数, 复数)是如何"诞生的". 考虑到以回答这个问题为主, 以及篇幅问题, 我们就只谈到有理数为止(到这里已经足够了.) 为此, 我们先了解两个需要了解的知识点. 0.1. Z-F 集合论之无穷公理 Z-F 集合论九条公理确立了集合论的基础, 这些公理分别说明了集合的表示, 构造方法, 以及性质. 其中, 数字诞生的起点, 就是其中的"无穷公理": 无穷公理肯定了无限集的存在. 0.2. 等价关系与商集 数学中, 有一种关系可以说是最基础, 最常见的, 那就是等价关系. 定义集合 上一个关系" "称为等价, 当其满足以下三条性质: 1. (自反) ;2. (对称) , 若 , 则亦有 ;3. (传递) , 若 则有 . 一个集合 中的元素, 可以借由定义其上的一个等价关系进行分类(也就是说, 等价的的元素归为同一类, 称为等价类), 由这些等价类构成的集合, 称为集合 的商集. 举个例子: 可以验证"同余"是正整数集上的一个等价关系, 我们如用"模 7 同余", 可以将所有的正整数分为 7 个同余(等价)类, 我们可以给他们命名, 比如七个类分别为"星期一", "星期二", ......, "星期六", "星期天". 有了以上知识, 现在可以开始构建数字了. 1. 自然数, 整数, 有理数的构造1.1. 自然数集. 由无限性公理, 我们可以自然导出以下无穷集合: , 我们可以给这个集合中的元素命个名: ; , ........ 就这样, 我们就有了自然数集. 我们用 表示. 1.2. 整数集 由 , 可以按照以下等价关系构成商集 : 当且仅当 . 其中加法为一般意义上的加法. 容易验证这是一个等价关系. 它在 这个集合上生成的商集是什么样的呢? 举几个例子: 可以试试看, 以上两个例子中, 六个元素就分别在两个不同的等价类中, 我们可以取每个等价类中的一个代表元素来代表这个类, 事实上, 上面两例就是整数 和整数 . 自此, 我们就有了整数集 . 1.3 (高能预警)~~有理数集 由 , 我们可以按照以下等价关系构造商集 : 当且仅当 . 其中乘法为整数集中一般意义的乘法. 容易验证这是一个等价关系. (重点来了), 这里有两件事值得注意: 第一, 就是这个等价关系是 上的, 对于其中任意的元素(有序二元组) , 其第二分量是不能为零的. 第二, 一般书籍上说, 有理数定义为既约分数 形式. 这里构造商集的等价关系, 若改用"除法"的形式写出来, 正是隐含了这个意思. 举个例子: 就这样, 我们定义出了有理数集 . 3. 回归问题本身 那么现在我们来看看题主原来的问题: 为什么 不能用作除数? 我们看看有理数集的定义, 若是允许 0 做除数, 也就是说, 我们让以上等价关系定义在 上, 而不是 上, 会出现什么结果? 首先, , 这是显然的. 那么用以上等价关系将 分类, 会做出几类呢? 我们看看哈......随便举一例.... 完蛋了, 任意元素都和 等价!!!, 这就是说, 所有元素只归为了一类!!!我们要干的事情不是要扩充数域吗???? 只归为一类这不就毫无意义了吗???? 到这里, 大家是不是就明白了, 为什么不能用 0 做除数的原因了呢? 至于之后的实数, 复数, 都是进一步在有理数上通过相应的等价关系构造商集而生成, 自然, 这个性质也就继承下来了. 写完答案一看, 哈, 2019 年了. 那就以此回答开年, 从“ 0 ”开始, 祝大家在新一年学有所成. 新年快乐了!!! 2019.1.1 凌晨 00:20 查看知乎讨论
谢邀, 关于这个问题, 回顾数系是怎么构建起来的, 就显而易见了. 原本打算留到写专栏文章时来解释, 迟迟未动手, 就借着这个答案来说说.
0. 概述
要了解"0 为什么不能做除数?"这个问题. 我们有必要回顾一下数字(从自然数, 整数, 有理数, 到实数, 复数)是如何"诞生的". 考虑到以回答这个问题为主, 以及篇幅问题, 我们就只谈到有理数为止(到这里已经足够了.)
为此, 我们先了解两个需要了解的知识点.
0.1. Z-F 集合论之无穷公理
Z-F 集合论九条公理确立了集合论的基础, 这些公理分别说明了集合的表示, 构造方法, 以及性质. 其中, 数字诞生的起点, 就是其中的"无穷公理":
无穷公理肯定了无限集的存在.
0.2. 等价关系与商集
数学中, 有一种关系可以说是最基础, 最常见的, 那就是等价关系. 定义集合
上一个关系"
"称为等价, 当其满足以下三条性质:
1. (自反);
2. (对称), 若
, 则亦有
;
3. (传递), 若
则有
.
一个集合
中的元素, 可以借由定义其上的一个等价关系进行分类(也就是说, 等价的的元素归为同一类, 称为等价类), 由这些等价类构成的集合, 称为集合
的商集.
举个例子:
可以验证"同余"是正整数集上的一个等价关系, 我们如用"模 7 同余", 可以将所有的正整数分为 7 个同余(等价)类, 我们可以给他们命名, 比如七个类分别为"星期一", "星期二", ......, "星期六", "星期天".
有了以上知识, 现在可以开始构建数字了.
1. 自然数, 整数, 有理数的构造1.1. 自然数集.
由无限性公理, 我们可以自然导出以下无穷集合:
, 我们可以给这个集合中的元素命个名:
;
,
........
就这样, 我们就有了自然数集. 我们用
表示.
1.2. 整数集
由
, 可以按照以下等价关系构成商集
:
当且仅当
.
其中加法为一般意义上的加法. 容易验证这是一个等价关系. 它在
这个集合上生成的商集是什么样的呢? 举几个例子:
可以试试看, 以上两个例子中, 六个元素就分别在两个不同的等价类中, 我们可以取每个等价类中的一个代表元素来代表这个类, 事实上, 上面两例就是整数
和整数
.
自此, 我们就有了整数集
.
1.3 (高能预警)~~有理数集
由
, 我们可以按照以下等价关系构造商集
:
当且仅当
.
其中乘法为整数集中一般意义的乘法. 容易验证这是一个等价关系.
(重点来了), 这里有两件事值得注意:
第一, 就是这个等价关系是
上的, 对于其中任意的元素(有序二元组)
, 其第二分量是不能为零的.
第二, 一般书籍上说, 有理数定义为既约分数
形式. 这里构造商集的等价关系, 若改用"除法"的形式写出来, 正是隐含了这个意思. 举个例子:
就这样, 我们定义出了有理数集
.
3. 回归问题本身
那么现在我们来看看题主原来的问题: 为什么
不能用作除数?
我们看看有理数集的定义, 若是允许 0 做除数, 也就是说, 我们让以上等价关系定义在
上, 而不是
上, 会出现什么结果?
首先,
, 这是显然的. 那么用以上等价关系将
分类, 会做出几类呢?
我们看看哈......随便举一例....
完蛋了, 任意元素都和
等价!!!, 这就是说, 所有元素只归为了一类!!!我们要干的事情不是要扩充数域吗???? 只归为一类这不就毫无意义了吗????
到这里, 大家是不是就明白了, 为什么不能用 0 做除数的原因了呢? 至于之后的实数, 复数, 都是进一步在有理数上通过相应的等价关系构造商集而生成, 自然, 这个性质也就继承下来了.
写完答案一看, 哈, 2019 年了. 那就以此回答开年, 从“ 0 ”开始, 祝大家在新一年学有所成. 新年快乐了!!!
2019.1.1 凌晨 00:20
